理解地下水 > 如何建立地下水流数学模型？

对地下水系统进行了自顶向下的概化之后，就已经搭建起了定性认识地下水的骨架，若要雕刻出其丰满的骨肉，还是要用到数学物理方法这把利刃。数学和物理学在学科发展历史上一直密不可分。许多数学理论是在物理问题的基础上发展起来的；很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。所谓数学物理，就是用数学方法（尤其是微积分方法）来描述和解决物理问题的方法。数学物理方法早在地下水学科发展之前业已成熟，所以一旦达西将地下水的微观流动抽象为线性的达西流之后，使用数学物理方法来模拟地下水的流动就变得顺理成章了。

达西定律定义了水头差与流量之间的线性关系，可是单凭达西定律并不能真正描述地下水的流动，除非我们可以测量空间上每一点的水头，但这正是求解的目标。所以我们必须把地下水头这一物理量有效的限制起来，通常的做法是把地下水的水头通过含水层储水率这一系数转化成水量，而水量的变化即为流量，受达西定律的约束，这样就可以写出地下水流动的控制微分方程。细心的读者可能已经发现，控制方程是放之四海而皆准的客观规律，方程中的水头和流量是循环指定的关系，可能的解有无数组，必须存在额外的条件（即定解条件）方能给出针对具体问题的唯一解（水头在空间上的分布情况），这也是微分方程求解的基本特征之一。定解条件包括边界条件和初始条件（对非稳定流的情况）。从某种意义上讲，定解条件中所包含的信息就是所研究的地下水系统的特征信息。

在幸运的情况下，地下水工作者们能够把所研究区域的地下水系统特征概化总结成简单优美的定解条件；在更加幸运的情况下，他们可以使用这组定解条件推导出控制方程的解析解。这样一来，地下水的数学模拟变成了数学家的专长，每解决一个实际问题都需要理论突破。这固然美好，但效率的确不高，因为绝大多数情况下，解析解并不存在。

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将概念模型（上图）进行空间离散后可以得到数值模型（下图）。此时，地形起伏和含水层的位置可以使用网格的空间属性来描述；地层的透水特性使用分区后的渗透系数来描述；地下水的补给、径流、排泄过程可以用各类边界条件的形式定义到相应的网格。这样，考察系统中地下水流动就变成了求解各网格内水头值的数学过程（图片改编自：pubs.usgs.gov）

数值解的出现和广泛应用把地下水的数学模拟拉下了神坛。所谓数值解，给出的不是地下水头分布的数学表达式，而是在不同时间，各个位置的离散的水头数值，这在数学上并不算优美，但非常实用。以较为直观的有限差分方法为例，首先把空间剖分成很多小长方体单元，每个单元内的物理量近似认为唯一。这样针对每个单元都可以写出各自的控制方程，这些控制方程中除去含水层参数外，唯一的未知数即为单元内的水头值，有多少个单元，就有多少个水头未知数，也就有多少个方程。此时，只有科学家才能从事的微分方程的精妙求解过程就变成了计算机可以代劳的大型矩阵求解的工程问题。更妙的是，由于空间已经被剖分成一个个的小单元，以往科学家们最为头疼的定解条件（边界条件和初始条件）问题也就迎刃而解了。工作人员只需要根据地下水系统概化的结果，在模型中适当的网格中定义地下水是如何流入或流出这些单元的，就可以很灵活地把自然世界中的水文地质现象转化为数学语言输入到模型中。

在实际模型应用中，无论做多少实际测量，或已如何彻底了解场地条件特征，模型输入参数都不能完全确定，用最初制订的模型结构和输入参数进行模拟极少能满意地再现观测得到的条件。所以建立地下水模型的重要工作之一就是使用现场测得的水位、水量信息对模型进行校准和验证，在合理范围内反复调整模型结构和参数，只有当模型的可靠性得到充分验证后，方可使用此模型进行更深入的工作。即使经历了充分的现场调查和模型修正，地下水预测模拟仍会存在一定程度的不确定性。如果预报结果对规划和设计有重要意义，必须对模型的不确定性予以分析，从而评估模型预测结果的可靠性。

虽然数值解是数学模型的近似解，但是只要将单元大小和时段长短划分得当，即对空间步长和时间步长取值合适，计算所得的数值解便可较好的逼近实际情况而满足计算精度的要求。由于数值方法可以较好的反映复杂条件下的地下水流状态，具有较高的仿真度，因此在理论和实际应用方面都得到了较快的发展。以西方发达国家为主的研究人员在地下水流模拟方面进行了大量的理论和实践研究，取得了一系列的成果，开发了功能多样的计算引擎和软件界面，以其模块化、可视化、交互性、求解方法多样化等特点得到广泛的使用。

随着信息科学的飞速发展，计算机数值计算能力的发展已远远超过了人们获取建立概念模型所需野外资料的能力。概念模型的构建需要大量野外试验数据和资料，包括地质结构、含水层参数、各类均衡项随时空变化的数据和资料，而这些资料的获取需要耗费大量人力、物力、和财力。在有限的预算和时间内，如何分清主次、抓住重点地指导开展野外调查工作，并在所得资料的基础上，由粗至细、自上而下的发展概念模型已经变成了地下水模拟的首要任务。

我国自二十世纪七十年代以来在地下水的数值模拟方面发展很快，它的应用已遍及与地下水有关的各个领域和各个产业部门。高校、科研院所与生产部门相结合，已运用数值模拟解决了很多国民经济建设中急需解决的各类问题。但由于此类工作的规范和监管体系发育严重滞后，地下水污染预测模拟出现了轻视具体地质条件研究，过多依赖模拟技术的苗头。建立模型不重视地质条件的调查、研究，不能正确地建立反映当地具体条件的概念模型，或者不是根据具体地质、水文地质条件来建立模型，而是削足就履，甚至弄虚作假，为了获取“理想”的拟合效果，任意剔除不“理想”的数据和结果。这种苗头很不健康，值得警惕。